Suites et récurrence

Vocabulaire :

Nous avons vu dans le cours de première sur les suites ce qu'est une suite croissante, décroissante, monotone, majorée, minorée, bornée. Voyons maintenant ce qu'est une suite convergente et ce que sont des suites adjacentes.

Une suite convergente est une suite qui tend vers un certain nombre, appellé limite de la suite, lorsque n tend vers l'infini. C'est donc une suite u telle qu'il exite un nombre réel l tel que limites de suite

. Une suite qui n'est pas convergente est ditedivergente.

Deux suites adjacentes sont deux suites, l'une croissante, l'autre décroissante, dont les termes se rapprochent lorsque n tend vers l'infini, c'est à dire telles que limites de suites adjacentes

.

Exemples :
- la suite définie pour tout n par suite

est croissante, monotone, majorée, minorée, bornée, et convergente. Elle admet pour limite 2.
- la suite définie pour tout n par suite

est majorée, minorée, bornée et divergente.

Remarquons qu'une suite croissante est toujours minorée par son premier terme, et une suite décroissante est toujours majorée par son premier terme. Une suite monotone peut être convergente ou divergente.

Propriétés :

Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente (mais attention, leur limite n'est pas forcément égale au majorant ou au minorant).
Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et elles convergent vers la même limite.

Suite croissante majorée	Suites adjacentes

Suites définies par récurrence :

Une suite définie par récurrence est une suite dont on donne la valeur d'un terme ainsi qu'une relation reliant son terme général d'ordre n au terme suivant d'ordre n+1. Par exemple, la suite suite

est définie par récurrence. Soit f la fonction qui donne terme suite

en fonction de terme suite

. Si on sait que la suite u est convergente et que la fonction f est continue en l , alors, en passant à la limite dans la relation de récurrence, on a l'égalité

. Cette équation permet généralement de calculer l.

Notons aussi que pour des suites définies de cette manière, on peut déterminer une valeur approximative des termes de la suite et conjecturer sur la convergence de la suite à l'aide d'un dessin. Traçons dans un repère orthonormé la courbe représentative de f, et sur l'axe des abscisses plaçons le permier terme terme de suite

. On a

donc à l'aide de la courbe de f on peut placer sur l'axe des ordonnées le terme terme de suite

. Traçons maintenant la droite d'équation y=x. En revenant depuis terme de suite

sur cette droite et en descendant vers l'axe des abscisses, on reporte ainsi terme de suite

sur l'axe des abscisses. On peut maintenant avec f placer terme de suite

sur l'axe des ordonnées puis rapporter sa valeur sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite d'équation y=x. On peut ainsi placer plusieurs termes de la suite sur l'axe des abscisses et deviner la limite de la suite.

Raisonnement par récurrence :

Le raisonnement par récurrence est un type de raisonnement qui permet de démontrer qu'une propriété qui dépend d'un entier naturel n est vraie pour tout entier naturel n. Par exemple si on doit démontrer que demonstration recurrence

est toujours un multiple de 3, on utilise généralement un raisonnement par récurrence. Un raisonnement par récurrence se décompose en 4 étapes.

1. On pose math recurrence

="la propriété que l'on veut démontrer", par exemple ici on posera demonstration recurrence

2. On montre que demonstration recurrence

est vraie. C'est généralement assez simple. Ici propriete

est vraie car demonstration recurrence

et 0 est un multiple de 3.

3. On montre que pour tout nombre n, si cours recurrence

est vraie, alors cours recurrence

est encore vraie. C'est l'étape la plus difficile. Pour rédiger la solution on écrit donc pour notre exemple : "Soit n un nombre entier naturel. Supposons que raisonnement recurrence

soit vraie.". On doit montrer que raisonnement recurrence

est encore vraie, c'est à dire que raisonnement recurrence