cour: Les fonctions

Les fonctions

Généralités :

Une fonction est continue si on peut tracer son graphique sans lever le crayon. Une fonction continue qui est strictement croissante sur un intervalle [a,b] et telle que f(a)<y et f(b)>y ne prend qu'une seule fois toute valeur y. Autrement dit, dans ce cas, l'équation f(x)=y admet une unique solution dans l'intervalle [a,b]

C'est évident sur le dessin et cette propriété s'appelle le théorème des valeurs intermédiaires. On peut l'adapter dans le cas d'une fonction strictement décroissante. Dans les exercices il est souvent demandé de donner une valeur approchée de la solution de l'équation f(x)=y. Il faut pour cela utiliser un tableau de valeurs ou un solveur d'équations sur ta calculatrice.

Fonction exponentielle :

Représentation graphique de la fonction exponentielle (notée  ou ) :

On lit sur le graphique que :

La principale propriété de cette fonction, c'est que la fonction exponentielle est toujours égale à sa dérivée : le coefficient directeur de sa tangente en x = a vaut toujours a. Avec la formule de dérivation d'une composée de fonctions que tu connais (), si u est une fonction alors :

La notation  pour la fonction exponentielle n'est pas un hazard, il s'agit bien d'une fonction puissance. Le nombre e vaut environ 2,7. On peut donc appliquer les formules des puissances à la fonction exponentielle. En particulier :

Fonction logarithme népérien :

C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle, c'est à dire que pour tout nombre a,  et pour tout nombre a>0, . Son ensemble de définition est donc  (  n'a pas de sens car  ne vaut jamais -2).

Le graphique est à retenir :

On lit dessus que :

La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse 1/x. D'une manière générale si u est une fonction et si , alors :

La fonction ln est capable de transformer des produits en sommes. Pour tous nombres a et b, on a

Avec cette propriété importante remarque que . Quand on a une puissance à l'intérieur de la fonction ln, on peut la passer devant la fonction ln. Tu peux aussi apprendre pour ta culture générale que la fonction logarithme décimal est définie par :

Cette formule, inutile pour les maths, sert parfois en physique.

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