Cour : Intégrales

4 - Intégrales

Les intégrales :

Quelque part sur la terre, il y a un champ qui est coincé entre une route et une rivière. Le propriétaire du champ meure et on doit le partager en 3 parties égales pour ses héritiers. On doit donc connaître sa surface, son aire. C'est l'objectif de ce chapitre.

D'abord éliminons toutes les données qui ne nous sont pas utiles et placons ce champ dans un repère.

Ensuite cherchons une fonction dont la représentation graphique parcourt le bord de la rivière. On cherchant un peu sur la calculatrice, on peut trouver une fonction assez proche. Il existe une technique qui permet de déterminer cette fonction si on connait des points de la courbe, la représentation graphique sera d'autant plus précise que l'on connaitra beaucoup de points, il faudra donc faire un maximum de relevés de position sur le terrain. Cette technique n'est pas au programme de la terminale, tu la verras dans les études supérieures. Pour notre rivière, on va considérer que la fonction  convient parfaitement. Pour connaitre l'aire sous la courbe, traçons dessous des rectangles assez larges. On sait calculer l'aire d'un rectangle (longueur fois largeur), donc en les additionnant tous on trouvera un nombre un peu inférieur à l'aire que l'on cherche.

Prenons maintenant ci dessous des rectangles moins larges. L'aire est déja plus précise. En fait plus on prend des rectangles de petite largeur, et plus on se rapproche de l'aire. C'est assez théorique mais en fait l'aire sous la courbe est égale à la somme des aires d'une infinité de rectangles ayant une largeur infiniment petite. La largeur infiniment petite est notée dx. C'est une variation infinitésimale de x. La hauteur de chaque rectangle est de f(x). Le signe  se lit "somme" mais on dit plus souvent "intégrale", et l'aire sous la courbe vaut donc : , c'est à dire la somme pour x parcourant les valeurs de 0 à 4 des f(x) fois dx. (se prononce "intégrale de 0 à 4 de f(x)dx").

Tout cela est très théorique, voyons maintenant comment calculer une intégrale. C'est très simple.

Calcul d'une intégrale :

Donc :

Le résultat est exprimé avec les unités du graphique. Si une unité du graphique vaut 5m, alors une unité d'aire (ua) du graphique vaut 25m², et donc l'aire réelle du champ vaut environ 267m².

Autre méthode de calcul :

Des fois on n'arrive pas à trouver de primitive pour la fonction f. La formule d'intégration par parties peut alors être utile dans ce cas.
Tu connais bien la formule : . Si deux fonctions sont égales alors leurs intégrales sont égales, donc :

Comme la primitive de la dérivée d'une fonction c'est la fonction et que l'intégrale d'une somme de fonctions est égale à la somme des intégrales, alors :

Donc en changeant de coté :

Et en inversant l'égalité :

C'est la formule d'intégration par parties. Elle peut être utilisée lorsque l'on arrive pas à calculer la primitive d'une fonction à intégrer. Comme exemple d'application, calculons . On ne sait pas calculer la primitive de xcos(x). Mais comme il y a un produit, tentons une intégration par parties. On pose  et . Alors  et . Donc :

On voit ici qu'une intégrale peut être négative, alors qu'une aire est toujours positive. En fait si on veut calculer l'aire S de la surface bleue ci dessous

Il faut calculer :

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